2022 DSP for ICE3301

一、选择题

1

$\displaystyle y[n]=T(x[n])=100\sin \left(\frac{2n+3}{2}\pi\right)x[n]$ ，则下列说法正确的是（）

该系统不是线性的；
该系统是时变的；
该系统不是因果的；
该系统不是稳定的。

\sin (\frac{2 n + 3}{2} π) = (- 1)^{n + 1}

$T(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n])=\alpha y_1[n]+\beta y_2[n]$ ，所以是线性的；
$T(x[n+n_0])=100(-1)^{n+n_0+1}x[n+n_0]\not=y[n+n_0]$ 所以是时变的；
$y[n]$ $\le n$ 的信息，所以是因果的；
$x[n]$ $y[n]$ ，所以是稳定的。

2

$x[n]=2^nu[n]$ ，则其 Z 变换和收敛域是（）

$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1-2z^{-1}},|z|>2$ ;
$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1-2z^{-1}},|z|<2$ ;
$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1+2z^{-1}},|z|>2$ ;
$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1+2z^{-1}},|z|<2$ .

X (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n} = \frac{1}{1 - 2 z^{- 1}}

$|z|>2$ .

3

共轭反对称序列的傅里叶变换是（）

实函数；
纯虚函数；
共轭对称函数；
共轭反对称函数.

4

$N$ $\tilde{x}[n]$ $N^2 \tilde{x}[n]$ 时，所做 DFS 处理的总次数是（）

{\tilde{X}}_{1} [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} \tilde{x} [n] W_{N}^{n k}

\begin{aligned} {\tilde{X}}_{2} [n] & = \sum_{m = 0}^{N - 1} {\tilde{X}}_{1} [m] W_{N}^{m n} \\ = \sum_{m = 0}^{N - 1} {\tilde{X}}_{1} [(- m)_{N}] W_{N}^{- m n} \\ = N \tilde{x} [(- n)_{N}] \end{aligned}

继续此步骤，

\begin{matrix} {\tilde{X}}_{3} [n] = DFS {{\tilde{X}}_{2} [n]} \\ {\tilde{X}}_{4} [n] = DFS {{\tilde{X}}_{3} [n]} = N^{2} \tilde{x} [n] \end{matrix}

5

最小相位系统与全通系统级联后的系统（）

一定是最小相位系统；
一定是最大相位系统；
幅度响应一定与最小相位系统相同；
相位响应一定与最小相位系统相同。

6

$2\pi \times 800\mathrm{~rad/s}$ $1/1000\mathrm{~s}$ 采样，得到的离散时间正弦信号的频率是（）

$0.4\pi \mathrm{~rad}$ .
$1.6\pi \mathrm{~rad}$ .
$0.2\mathrm{~Hz}$ .
$0.8\pi \mathrm{~rad}$ .

x_{a} (t) = \sin (2 π \times 800 t) \Rightarrow x [n] = x_{a} (n T) = \sin (2 π \times \frac{4}{5} n)

N = 5 \Rightarrow f = \frac{1}{N} = 0.2 Hz

7

$x[n]$ $X(e^{j\omega})$ $x_d[n]=x[2n]$ 的傅里叶变换是（）

$X_d(e^{j\omega})=[X(e^{j\omega})+X(e^{j(\omega-\pi)})]/2$ ;
$X_d(e^{j\omega})=[X(e^{j\omega/2})+X(e^{j(\omega-2\pi)/2})]/2$ ;
$X_d(e^{j\omega})=[X(e^{j\omega2})+X(e^{j(\omega-2\pi)2})]/2$ ;
$X_d(e^{j\omega})=X(e^{j2\omega})$ .

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

\begin{aligned} X_{d} (e^{j ω}) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [2 n] e^{- j ω n} \end{aligned}

选项中，

X (e^{j ω / 2}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n / 2}

X (e^{j (ω - 2 π) / 2}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} x [n] e^{- j ω n / 2}

\begin{aligned} [X (e^{j ω / 2}) + X (e^{j (ω - 2 π) / 2})] / 2 & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} [1 + (- 1)^{n}] / 2 x [n] e^{- j ω n / 2} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} [n = 2 k] x [n] e^{- j ω n / 2} \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [2 k] e^{- j ω k} = X_{d} (e^{j ω}) \end{aligned}

$x_d[n]=x[3n]$ 的话，应该是：
$X_{d} (e^{j ω}) = [X (e^{j ω / 3}) + X (e^{j (ω - 2 π) / 3}) + X (e^{j (ω - 4 π) / 3})] / 3$

8

关于 DFT 正变换的定义错误的是（）

$x[n]$ $X[k]$ 都是因果有限长信号；
$x[n]$ 的长度；
DFT 点数，求和项数和频域取样点数三者一致；
$X[N/2]$ $\omega=\pi$ 处的取样。
$X [N / 2] = X (e^{j ω}) |_{ω = \frac{2 π \cdot N / 2}{N}} = X (e^{j π})$

9

$N$ $x_1[n]$ $x_2[n]$ $X_1[k]$ $X_2[k]$ $X_1[k]+jX_2[k],k=0,1,\cdots,N-1$ $Y[k]$ $N$ $y[n]$ $x_1[n]$ $x_2[n]$ 的获得方法是（）

$x_1[n]=\operatorname{Re}\{y[n]\}$ $x_2[n]=\operatorname{Im}\{y[n]\}$ .
$x_1[n]=\operatorname{Re}\{y[n]\}$ $x_2[n]=j\operatorname{Im}\{y[n]\}$ .
$\displaystyle x_1[n]=\frac{y[n]+y^*[N-n]}{2}$ $\displaystyle x_2[n]=\frac{y[n]-y^*[N-n]}{2}$ .
$\displaystyle x_1[n]=\frac{y[n]+y^*[N-n]}{2}$ $\displaystyle x_2[n]=\frac{y[n]-y^*[N-n]}{2j}$ .

频域中的实数分量和虚数分量分别对应时域中的共轭对称分量和共轭反对称分量，也就是：

\begin{matrix} y [n] = IDFT {X_{1} [k] + j X_{2} [k]} \\ x_{1} [n] = IDFT {X_{1} [k]} = \frac{y [n] + y^{*} [N - n]}{2} \\ x_{2} [n] = \frac{1}{j} IDFT {j X_{2} [k]} = \frac{y [n] - y^{*} [N - n]}{2 j} \end{matrix}

10

关于级联型和并联型错误的说法是（）

为了使每个子系统的系数全部为实数，所以采用 2 阶子系统而不是 1 阶子系统
级联型每个子系统的零点和极点就是整个系统的零点和极点；
并联型每个子系统的零点和极点就是整个系统的零点和极点；
如果采用了有复数系统的子系统，则乘法和加法次数比直接型更多。

二、填空题

1

$\displaystyle x[n]=\sum_{k=0}^{\infin} \delta[n-2k]$ $\underline{\displaystyle \frac{1}{1-z^{-2}},|z|>1}$ .

X (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^{- 2 k} = \frac{1}{1 - z^{- 2}}, | z | > 1

2

$x[n]$ $\displaystyle X(z)=\frac{16}{1-\frac{1}{4}z^{-1}}+\frac{1}{1-5z^{-1}}$ $x[0]$ $\underline{16}$ .

$1/4<|z|<5$ .

\frac{16}{1 - \frac{1}{4} z^{- 1}} \overset{Z}{⟷} 16 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} u (n)

\frac{1}{1 - 5 z^{- 1}} \overset{Z}{⟷} - 5^{n} u (- n - 1)

$x[0]$ $16\cdot \left(1/4\right)^0=16$ .

$+\infin$ 因此不是因果的。

3

$x[n]=\{10,20,30,40,50\},n=0,1,2,3,4$ $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})\mathrm d \omega=\underline{20\pi}$ .

\begin{matrix} x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω \\ x [0] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (e^{j ω}) d ω = 10 \Rightarrow \int_{- \infty}^{\infty} X (e^{j ω}) d ω = 20 π \end{matrix}

4

$\{1+j,1+2j,1+3j,1+4j,1+5j\}$ $\underline{}$ .

$\tilde{X}[k]=\tilde{X}^*[(-k)_N]$ $1-4j,1-3j,1-2j$ .

$X[0],X[4]$ 都应该是实数。

5

$\displaystyle y[n]-\frac{1}{20}y[n-2]=x[n-2]-\frac{1}{20} x[n]$ $\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2=20$ $\displaystyle \sum_{n=-\infin}^{\infin}|y[n]|^2=\underline{20}$ .

离散 Parseval 定理：

\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} | x [n] |^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | X (e^{j ω}) |^{2} d ω

因为

\frac{Y (e^{j ω})}{X (e^{j ω})} = \frac{z^{- 2} - \frac{1}{20}}{1 - \frac{1}{20} z^{- 2}} = H (e^{j ω})

是全通滤波器，所以：

\begin{matrix} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} | x [n] |^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | X (e^{j ω}) |^{2} d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | X (e^{j ω}) H (e^{j ω}) |^{2} d ω = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} | y [n] |^{2} \end{matrix}

6

$\displaystyle x_c(t)=\sum_{n=-\infin}^{\infin} x[n] \frac{\sin[\pi(t-nT)/T]}{\pi(t-nT)/T}$ $\underline{1/2T}$ .

\begin{aligned} X_{c} (j Ω) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] Φ (j Ω) e^{- j 2 π f n T} \end{aligned}

Φ (j Ω) = T rect (\frac{Ω}{Ω_{s}})

$f_s/2=1/2T$ .

7

$X[k]$ $x[n]=n+1,0\le n\le 4$ $\displaystyle \sum_{k=0}^4 |X[k]|^2=\underline{275}$ .

由 Parseval 定理：

\sum_{k = 0}^{4} | X [k] |^{2} = N \sum_{k = 0}^{4} | x [n] |^{2} = 275

8

$x[1]$ $\underline{17}$ .


xxxxxxxxxx
4
1
00001
2
10000
3
10001
4
10001

9

$2\pi \times 100\mathrm{~rad/s}$ $0.5\pi \mathrm{~rad}$ $T_d$ $\underline{2.5}$ ms.

根据脉冲响应不变法的公式：

ω = Ω T_{d}

$0.5\pi=2\pi \times 100 T_d$ $T_d=2.5 \mathrm{~ms}$ .

10

下图所示的信号流图表示的系统函数：

H (z) = \underset{―}{(1 - \frac{1}{3} z^{- 1}) \frac{1 - 2 z^{- 1} + 3 z^{- 2}}{1 + 8 z^{- 1} - \frac{1}{4} z^{- 2}}}

注意：转置型结构。我们可以翻转所有支路方向，交换输入输出位置，在草稿纸上画一下。

三、简答题

1

$h[n]$ 在满足什么条件时，该滤波器具有广义线性相位？

$h[n]=-h[N-1-n]$ $h[n]=h[N-1-n]$ $0\le n\le N-1$ )

2

$x[n]$ $X_1[k]$ $X_2[k]$ $X_1[k]$ $X_2[k]$ $X(e^{j\omega})$ ？请说明理由。

$N\ge M$ 时周期延拓无混叠。

3

利用脉冲响应不变法由连续时间滤波器设计离散时间 IIR 滤波器，能保持原连续时间滤波器的什么性质？

稳定性。低频段对应。

4

典范性结构的特点是什么？用典范性结构实现以下系统函数

H (z) = \frac{1 - 2 z^{- 1} - 3 z^{- 2}}{4 + 6 z^{- 2}}

特点是：

使用最少的延时单元；
对频率响应的控制作用不敏感；
零极点对系数量化敏感。

H (z) = \frac{1 / 4 - 1 / 2 z^{- 1} - 3 / 4 z^{- 2}}{1 + 3 / 2 z^{- 2}}

四、计算题证明题

5

$x_c(t)$ $X_c(j\Omega)=0,|\Omega|\ge \Omega_N$ $\displaystyle H(e^{j\omega})=\begin{cases}1,|\omega|<\omega_c\\0,\mathrm{else}\end{cases}$ .

$y_c(t)=x_c(t)$ $T$ 的最大取值；
$\Omega_s=2\pi/T>2\Omega_N$ .
$T<\pi/\Omega_N$ .
$\Omega_N$ $\Omega_NT$ $\omega_c$ ，要求：
$Ω_{N} T < ω_{c}$
$T<\omega_c/\Omega_N$ $\omega_c <\pi$ $T$ $\omega_c/\Omega_N$ .
$x_c(t)$ $\Omega_N$ $T$ 的取值范围；
$\omega_c/\Omega_N<T<\pi/\Omega_N$ .
$1/T=20\mathrm{~kHz}$ $3\mathrm{~kHz}$ $\omega_c$ $\Omega_N$ 的取值范围。
$\omega_c=\Omega_cT=0.15$ . 因为，
$\frac{ω_{c}}{Ω_{N}} < T < \frac{π}{Ω_{N}}$
$3\mathrm{~kHz}\le\Omega_N<62.8\mathrm{~kHz}$ .